어렵다어렵다 하면 어렵고 쉽다 쉽다 하면 쉽다 (#1865 웜홀)

#1865 웜홀 (https://www.acmicpc.net/problem/1865)

 

 

처음 사용하는 알고리즘이었던지라 많이 애먹었다.

다익스트라는 좀 써봤지만 벨만 포드는 처음인지라..

 

처음에는 너무 어려워보여서 이런 저런 조건들을 마구 넣었다.

하지만 생각보다 풀이가 심플해서 놀랐다.

플레티넘을 풀다보면 꼭 뇌가 이상하게 꼬인다.

 

하지만 골드까지는 그런 꼬임이 필요하지 않다는 것을 꼭 기억하자.

 

정답코드

import sys

input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)
tc = int(input())


def bf():
    # 벨만 포드 : 매 단계마다 모든 간선을 전부 확인하면서 모든 노드간의 최단 거리를 구해
    # 모든 라운드 반복
    for i in range(n):
        # 모든 간선 탐색
        for j in range(m * 2 + w):
            start = loads[j][0]
            dest = loads[j][1]
            cost = loads[j][2]
            # print(loads[i])
            if distance[dest] > distance[start] + cost:
                distance[dest] = distance[start] + cost
                # 마지막 라운드에서도 탐색이 발생한다면
                if i == n - 1:
                    # 음수 사이클이 존재하는 것
                    return True
    return False


for _ in range(tc):
    n, m, w = map(int, input().split())
    # 지점의 수 N(1 ≤ N ≤ 500), 도로의 개수 M(1 ≤ M ≤ 2500), 웜홀의 개수 W(1 ≤ W ≤ 200)

    # cycle을 만드는 최단거리를 저장하기 위한 리스트
    distance = [INF] * (n + 1)  # 1번부터 사용

    loads = []

    # 도로는 방향이 없으며 웜홀은 방향이 있다
    for i in range(m):  # 도로의 정보
        s, e, t = map(int, input().split())
        # S와 E는 연결된 지점의 번호, T는 이 도로를 통해 이동하는데 걸리는 시간
        loads.append([s, e, t])  # [start, dest, cost]
        loads.append([e, s, t])  # 양방향

    for j in range(w):  # 웜홀의 정보
        s, e, t = map(int, input().split())
        # S는 시작 지점, E는 도착 지점, T는 줄어드는 시간, T는 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0
        loads.append([s, e, -t])  # 웜홀은 단방향

    if bf():
        print("YES")
    else:
        print("NO")

 

 

다익스트라 vs 벨만 포드

둘 다 최단거리를 구하는 알고리즘이다. 하지만 음수 간선이 있는지의 여부에 따라 사용하는 알고리즘이 갈린다.

물론 음수 간선이 있어도 다익스트라로 최단거리를 구할 수는 있다.

 

하지만 문제는, 사이클이 음수 간선을 포함한 경우에 발생한다.

이 그래프를 보자.

2-3-5 사이클을 돌게되면 비용이 -1이 나온다.

따라서, 어떤 경로를 가더라도 이 사이클을 계속해서 돌아버리면, 비용은 음의 무한대가 나온다.

 

따라서 음수 간선이 포함된 상황에서는 벨만 포드 알고리즘을 사용한다.

물론, 음수 간선이 없는 상황에서도 벨만 포드 알고리즘은 작동한다. 하지만 시간 복잡도 측면에서 다익스트라가 더 효율적이다.

다익스트라

• 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
• 음수 간선이 없다면 최적의 해를 찾을 수 있음

벨만 포드

• 음의 간선이 포함된 상황에서도 사용할 수 있다.
• 또한, 음수 간선의 순환을 감지할 수 있다.
• 하지만 시간복잡도가 O(V*E)로 다익스트라에 비해 느리다. (V는 노드의 수, E는 간선의 수)
• 매번 모든 간선을 전부 확인
  • 따라서 다익스트라 알고리즘의 최적의 해를 항상 포함함
• 다익스트라에 비해 시간이 오래걸리지만, 음수 간선 순환을 파악할 수 있다는 장점이 있음

진행 과정은 다음과 같다.

1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 다음의 과정을 N-1번 반복
   1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
4. 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면, 3번의 과정을 한 번 더 수행하면 됨
   1. 이 때 최단 거리 테이블이 갱신된다면 음수 간선 순환이 존재하는 것.

https://www.youtube.com/watch?v=Ppimbaxm8d8